Народный артист России (05.06.2003).
После окончания общеобразовательной и музыкальной школ (1977) поступил в Московское театральное училище им. Щепкина, на курс Н.Н. Афонина. Со своими однокурсниками создавал номера, поставил спектакль, капустники.
Дебют в кино состоялся в 1980 году в картине Сурена Шахбазяна «Жду и надеюсь». Затем последовали фильмы «Родня» Никиты Михалкова и «Полёты во сне и наяву» Романа Балаяна, где Олег Меньшиков обратил на себя внимание даже в эпизодических ролях.
В 1981 году, после окончания театрального училища, поступил в Малый театр.
Учась на последнем курсе Театрального училища был приглашён Михаилом Козаковым на роль Костика в картине «Покровские ворота». На экран этот фильм вышел в 1982 году и именно эта роль принесла актёру популярность и любовь зрителей.
После роли Костика последовал ряд разноплановых ролей, в том числе в фильмах «Капитан Фракасс» (1984), «Володя большой, Володя маленький» (1985), «Мой любимый клоун» (1986), «Моонзунд» (1987). Роль в последнем принесла актёру Серебряную медаль им. А.П. Довженко.
Через год работы в Малом театре, не принесшей ярких ролей, Олег Меньшиков, отбывал воинскую обязанность, играя в Центральном театре Советской Армии. Одна из самых ярких ролей сыгранных им в этом театре это роль Ганечки в спектакле по роману Федора Михайловича Достоевского «Идиот».
В 1985-89 годах - актер Московского драматического театра им. Ермоловой, где наиболее заметными ролями стали роли в спектаклях «Спортивные сцены 81 года» и «Второй год свободы», (реж. Валерий Фокин).
За роль римского императора Калигулы в одноимённом легендарном спектакле Петра Фоменко, поставленном в 1990 году, получил премию и диплом Фестиваля «Московские сезоны».
В 1991 году сыграл роль Сергея Есенина в спектакле «Когда она танцевала» Лондонского театра «Глобус», с Ванессой Редгрейв в роли Айседоры Дункан. В 1992 году был удостоен за эту роль премии имени Лоуренса Оливье Британской Академии искусств. Затем там же актёр участвовал в спектакле по Н.В. Гоголю «Игроки» в роли Ихарева.
Следующей театральной ролью, также имевшей большой успех, стала роль великого русского танцовщика Вацлава Нижинского в спектакле «Нижинский» (1993 год, антреприза «Богис»), где он также выступил и в качестве режиссёра. А годом позже он снова играл Есенина в спектакле «Когда она танцевала», но уже в постановке парижского Комеди Франсез на Елисейских полях.
Продолжая сниматься в кино, сыграв главную роль в фильме Александра Хвана «Дюба-дюба» (1992), Олег Меньшиков в 1994 году снялся в фильме Никиты Михалкова «Утомлённые солнцем». Роль в фильме-лауреате американской премии «Оскар» (1994) стала одной из самый ярких в творческой биографии актёра и принесла ему несколько премий.
Следующая роль в фильме режиссера Сергея Бодрова-старшего «Кавказский пленник» (1996) была также отмечена наградами.
В 1998 году вновь снялся у Никиты Михалкова в фильме «Сибирский цирюльник», за работу в котором удостоился Государственной премии России.
В 1995 году организовал антрепризу «Театральное товарищество 814», где в качестве постановщика и актёра создал спектакли «Горе от ума» (1995), «Кухня» (2000), «Игроки» (2001) и сыграл главную роль в постановке Кирилла Серебренникова «Демон» (2003).
В 2001 году учредил премию для российских театральных критиков - «Лучший критик сезона» им. А. Кугеля, в жюри которой входят актёры и режиссёры Москвы, Петербурга, Воронежа.
Входит в постоянный состав независимого жюри премии в области литературы и искусства «Триумф».
В Голливуде Меньшикова прозвали "русский, который не приезжает" за то, что он отказывается от неоднократно поступающих предложений сняться на "фабрике грёз".
С апреля 2012 года - художественный руководитель Московского драматического театра имени Ермоловой.